mardi 30 août 2016

Système de l'hyperbole équilatère tangente à l'axe vertical, en cosinus

Dans le diagramme combinatoire des systèmes de la mécanique hyperbolique algébrique, il y a 3 types de systèmes de fonctions, primal, dual et trial. Les 2 premiers sont simples, ce sont eux que j'ai théorisé en premier. Le troisième, je le connaissais un peu mais je ne savais pas comment l'aborder, l'étudier.

C'est seulement quand j'ai découvert le diagramme des systèmes que j'ai pu voir dans quel ensemble il se situait, progressivement, car ce diagramme est très compliqué. Je ne comprenais pas tout de suite. Et puis, j'ai remarqué que le système trial reliait les 2 genres de mécaniques ensemble, l'euclidien et le cartésien, par le demi-cycle de leur rotation respective.

Ce qui veut dire que, sur le diagramme euclidien, par exemple, il y a la 2e moitié de la rotation de celui cartésien, pour un même guide commun, invariant, le sinus, par exemple. D'accord, mais quand il s'agit d'inverser le rôle des variables, ce n'est plus si simple, comme dans le primal et le dual euclidien, le genre défaut. Le guide trigonométrique commun n'existe plus, et tout est réparti sur plusieurs diagrammes, pour un même résultat, finalement, savoir quels tableaux utiliser, mais d'une façon beaucoup plus compliquée, par un détour beaucoup plus complexe. C'est un dédale, comme on dirait.

Pourquoi interchanger les rôles des variables? C'est que, initialement, j'ai théorisé ma géométrie en posant que la trigonométrie classique, en sinus-cosinus, était fixe, au départ, alors que celle asymptotique, en V et W, tournait indépendamment, jusqu'à ce qu'elle soit fonction de la précédente. Ainsi, je pensais avoir des courbes en géométrie classique comme résultat, ce qui s'est révélé une erreur, avec le temps, car une fonction désignée peut changer de sens subrepticement, ce qui entrait en contradiction avec la continuité toujours évolutive de l'asymptote.

Alors, j'ai fini par comprendre que ce n'était pas V qui était fonction du sinus, mais plutôt le contraire. C'était un gros problème, car je ne pouvais pas présenter publiquement des courbes faites en trigonométrie asymptotique, car personne ne comprendrait. Et tous mes tableaux, rotations, diagrammes, ma théorie, étaient faits en fonction de cette approche, il n'était pas question de tout remettre en cause et de recommencer à zéro pour celà.

Il devait y avoir une raison que j'ai fait celà de cette manière, tout à l'envers du bon sens. C'était mon intuition, je le voyais comme ça. Pour moi, le sinus devait être fixe pendant que le V tournait, au départ. C'est avec ça que je pouvais théoriser la façon dont ça tournait, que ça fonctionnait. Finalement, une petite méprise sur la trigonométrie résultante ne m'empêchait pas du tout d'avancer normalement, car c'était quelque chose de plus compliqué, que je ne pouvais pas comprendre adéquatement tout de suite.

Voilà pourquoi la revers-mécanique, la fonction inverse ou réciproque, est importante. Ma géométrie est asymptotique, en fait, c'est le résultat final, quand le sinus, par exemple, est défini comme telle fonction de V. Alors tout tourne en V, en trigonométrie de l'asymptote, comme résultat. Et je dois inverser ça, faire la revers-mécanique, pour avoir une géométrie lisible par tout le monde, en trigonométrie classique, usuelle.

Alors, pour revenir au trial mécanique, qui complète un système cartésien avec l'algèbre euclidienne sur lequel il se situe, la revers-mécanique est difficile à faire. En étudiant l'hyperbole équilatère, j'ai constaté qu'elle faisait partie du trial, et qu'il fallait que j'en fasse la revers-mécanique pour pouvoir la présenter publiquement, avec son système propre.

Finalement, j'ai trouvé que je devais faire la rotation et les tableaux du trial en tangente plus grande que 1 pour avoir un modèle de la revers-mécanique en radical J (cosinus asymptotique), après conversion. C'était une manière indirecte, à défaut de pouvoir identifier le bon guide et le bon tableau tout de suite, mais ça a bien fonctionné. En fait, j'ai trouvé la solution pendant que je faisais mon dessin, mais le résultat étant le même, ce n'était pas nécessaire de faire d'autres tableaux pour le moment.

C'est pour dire que l'hyperbole équilatère se trouve dans les parties les plus lointaines et obscures de la géométrie. Mon approche est celle de la mécanique hyperbolique algébrique, au plus loin que je puisse la comprendre, pour le moment.

Voici mon dessin:


Système de l'hyperbole équilatère verticale tangente à l'axe, en cosinus

Il comporte l'essentiel des explications qu'on peut en donner. La trigonométrie est exacte et complète. Seuls les angles, moins utiles, ont été simplifiés pour ne pas trop charger le dessin.

Voici le tracé des 2 courbes, que j'ai réussi à faire:


Figure 2
Traçage des courbes

J'ai cherché brièvement sur internet si la contre-hyperbole équilatère était présente, par la formule. J'ai trouvé un article de Wolfram Alpha, mais sans mention de relation avec l'hyperbole équilatère, comme tel.

Contrairement à l'approche pseudo-arithmétique classique de l'hyperbole équilatère renversée, tangente aux axes, mon système, pour ce dessin, n'est pas fondé sur le fait que séc-tg soit l'inverse de séc+tg, car  c'est complètement hors-propos. Je n'en ai pas besoin. Dans ma géométrie, les cas particuliers ne font pas loi. C'est un système générique, applicable à n'importe quelle courbe qui se trouverait dans le même lieu, genre, type.

Ainsi, c'est le cas de cos-sin avec cos-sin, je peux faire le système de l'ellipse équilatère de la même manière. Le fait qu'ils ne soient pas des inverses n'entre pas du tout dans l'équation. Ça n'a pas rapport, dans ma géométrie.

Je ne sais pas si je vais la faire, l'ellipse équilatère, car il y a aussi la quadratrice qui est en suspend, et que je sais maintenant comment faire son système, en plus de d'autres courbes dont je m'occupe en arrière plan.
Mais tout ça c'est pour les besoins de la théorisation de ma géométrie. D'habitude, je choisis de faire ce qui me fait le plus avancer, et qui soit aussi d'intérêt pour le public, aussi, en même temps, pour la communication, la vulgarisation, la diffusion d'idées qui sont peut-être nouvelles, on ne sait jamais.

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